存档在 2011年12月17日

无限——一种可能性的探讨

2011年12月17日

从数学说起:第三次数学危机,罗素悖论。形象的表述就是理发师悖论。

为了避免罗素悖论,罗素提出不存在包含自身的集合,而为其命名为真类。既”真类包含其自身。”

包含自身就是说真类是个递归的存在,是个无限的存在。包含自身有其现实意义,比如编程中的递归类。

构建一个真类,其”真子类”或定义为基本元素有且仅有A。A的子类可以有 空集 {A} {AA} {AAA} ……既是A为{空集,{A},{AA},{AAA}……}
为类定义属性,假设集合有属性”质量”,此属性可”比较”。

为方便观察记录,标记如下A1=={空集,{A11},{A12A12},{A13A13A13}……} A11={空集,{A111},{A112A112},……}可以向上向下无限嵌套下去。
暂时抛弃一些概念定义,
假设{A12A12}>{A11},{A13A13A13}>{A12A12}>{A11}。A1>>{A13A13A13}>{A12A12}>{A11},就是说相对于{A11},{A12A12},{A13A13A13}……A1为无穷大。
{A11}相对于A1等价于{A111}相对于A11。
因为无穷的原因(无限)可以无限扩展,A11等价于A1。

假如要增加相容词,{A12A12}>{A11}描述为{A12A12}大{A11}小。类推,A1无穷大,A11无穷小。假设观测者可以从任意”层次”来观察(以A0,A11,A111等到”层次”),无穷大就约等于无穷小。假定有2观察者,观察者1在A0看A1,观察者2在A1看A11,那么可以说无穷大等价于无穷小。
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现在将抽象的东西与现实联系起来(- -|||终于可让大脑休息一下了),假如宇宙是一个嵌套的存在将宇宙看做上文定义的A,如此无限嵌套下去。原子可以被看做是{A}或{AA}之类,而人类则可以看做{AAA……}。
显然这里的”宇宙”是一种新的定义。那么这个”宇宙”可以说是无限的。同时可以说无限大等价于无限小,同时一切的差异观都可以转化为等级的东西。假如将A定义为神,这就是人就是神,万物皆是神。将A定义为爱,万物都是爱。所谓无名,万物之始也,有名,万物之母也。所谓一生二,二生三,三生万物。所谓空即是色,色既是空。
假设人类作为一个观察者,处于层次为A11111级,可观测精度也仅限于A11111级。能否存在一类观察者,可以同时观测A11111级、A1111级、A111111级乃至更多层次。可以被人类称之为床垫神了。是否存在处于不同层次的”物质”构建出灵魂。事实上佛经、圣经之类”玄学”书籍都描述这样的理论,那么他们同时所阐述的精神力量、身心灵、是否为真,世界究竟是一个怎样的幻象呢?!

简单的讲,无限嵌套的存在——真既是假,大就是小,虚也是实;没有开始亦没有终结,同时又随时开始随时终结。人类可能是”自由意志”吃饱了撑的创造的分身,遗忘以体验一切。

无限探讨以及生发出来的一些资料

2011年12月17日

关于无限以及引申出的一些资料。为探讨无限做资料准备。
一方面收集资料,另一方面打开的网页实在是无法控制了,太多了。

收集,关闭。

资料一:
罗素悖论,理发师悖论,由集合包涵自身引出。   http://5haolou.com/?p=1321

 资料二:
数学中的鬼——”无穷大”和”无穷小”   http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=5190&do=blog&id=11401

 

博主语:也牵扯到无限,很有趣的问题~”0.99999″无限下去是否等于1。1/3=0.33333333 无限循环下去。所以0.333333…乘以3等于1。

其实这几个等于是关键~因为严格来讲不等于。涉及这个问题需要引入一个可观测的精度。

资料三:
还有宇宙有限无界,没有找到很好的资料。此外这个概念与我要讨论的无限并不相同。

待续

R是不包含R的集合的集合(理发师悖论)

2011年12月17日

资料一:
一个悖论,R是不包含R的集合的集合(理发师悖论) http://wenwen.soso.com/z/q302285513.htm

这是第三次数学危机的产物
R是不包含R的集合的集合,这句话有矛盾,因为R本来就是包含自身R的集合,又怎么可能R是不包含R的集合的集合
这就和理发师的话一样。问理发师的头发谁来剪,这样就矛盾了

把所有集合分为2类,第一类中的集合以其自身为元素,第二类中的集合不以自身为元素,假令第一类集合所组成的集合为P,第二类所组成的集合为Q,于是有: P={A∣A∈A} Q={A∣A∉A} 问,Q∈P 还是 Q∈Q? 若Q∈P,那么根据第一类集合的定义,必有Q∈Q,但是Q中任何集合都有A∉A的性质,因为Q∈Q,所以Q¢Q,引出矛盾。若Q∈Q,根据第一类集合的定义,必有Q∈P,而显然P∩Q=∅,所以Q∉Q,还是矛盾。 这就是著名的“罗素悖论”。

因为,如果把每个人看成一个集合,这个集合的元素被定义成这个人理发的对象。那么,理发师宣称,他的元素,都是城里不属于自身的那些集合,并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己?这样就由理发师悖论得到了罗素悖论

博主语:这个问题是由无限引出的,无限以及与其相似的数学概念无穷。包涵其自身的集合。引出问题:如何解决的悖论,罗素的约定是什么。是否有其他解。第一次数学危机是什么,第二次数学危机是什么。

资料二:
罗素公理体系 http://zh.wikipedia.org/wiki/罗素公理体系

真类与集合

为解决此类悖论,我们把类区分为两种:

定义1.2 如果存在类B,而类A满足条件“exists B(Ain B)”,则称类A为一个集合(简称为),记为Set(A)。

定义1.2说明,一个集合是类的一种,它可以成为其它类的一个元素,这也正是集合的”严格”定义。

有另一种集合的定义:已存在一个类B,其中凡是符合属性P(x)的,可以构成一个类A。类A则是一个集合,或者说是B的一个子类。但对此种定义,人们可以提出质疑,不能保证A不是真类。但人们还是乐于接受该定义的。但定义说不上严格。

集合能进行各种类运算。

真类 不是集合的类就是真类。真类是一种能以自身作为元素的类,对于真类,类运算并不一定都能进行。

一个真类却不能成为其它类的元素。因此我们可以理解为“本性类是最高层次的类”。

罗素悖论等于用反证法证明了真类的存在。但真类是抽象难理解的。

但是,“类和集合是非常一般的概念,什么是集合的问题是不能彻底回答的。只有随着数学实践来确定哪些类是集合,哪些类是真类,任何时间,总有一些类无法确定其到底是不是集合。”

类的内涵公理

公理Ⅱ(内涵公理) 设P是一个性质,则exists A(forall x(xin A iff P(x)wedge Set(x)))

公理Ⅱ的含义是:满足一定性质的所有集合可以组成一个类。

内涵公理能够解决罗素悖论:令P(x)为“xnotin x”(称为罗素性质),依内涵公理,我们不能确定所有满足P的类能否构成一个类,我们只能确定满足P的所有集合能够构成一个类A(下面提到的性质1.1),我们有结论“Ain A iff P(A)wedge Set(A)”,即“Ain A iff Anotin Awedge Set(A)”。此时不会出现悖论,只能得出结果:A不是集合,因此A是本性类,我们把这个类称为罗素类

对于内涵公理,任给一个对所有集合都满足的性质P,如P(x) = Set(x),则有:

性质1.1 所有的集合构成一个真类。

我们把所有集合构成的类称为极限类(真类),它是类理论所承认的“最大的”类。

由公理Ⅰ(外延公理)、公理Ⅱ(内涵公理)组成的公理体系我们称为罗素公理体系,这是关于类的理论的最基本的公理体系。

罗素公理体系与罗素悖论

罗素悖论产生的原因,是把真类当成集合。

可以说,罗素公理体系在两方面避免罗素悖论:第一,不存在包含自身的集合(包含自身的类是真类)。第二,“所有”集合的总体不是集合!而是一个真类。因为“所有”一词,包含了自身。

以书目悖论为例,根据罗素公理体系,所有符合条件的书的确构成了一个集合,因为它们可以与其它的书进一步构成更大的整体(集合的定义)–比如它们和不符合条件的书共同构成了图书馆里所有的书(类)。问题“这本书要记下自己的书名吗?”,即是,它包含自己吗?已经没有回答的意义。因为根据内涵定义,不存在包含真类的集合。所以实物上不存在里面提到的那一本目录书(也有人认为那是一个非法的集合,一个集合要包含自身,但又要和集合内其它元素相区别,是不可能的)。但注意,这一抽象概念却是存在的,它是一个真类。

在理发师悖论里,理发师其实划出了一个真类。如果理发师修改一下自己的说法:“除了我理发师本人之外,我给所有不给自己理发的人理发”,悖论就被避免了。因为理发师此时定义了一个集合(根据声明,他不在自己定义的服务群里)。
注意:罗素公理体系只是“避免”了罗素悖论,并没有解决罗素悖论。罗素公理体系的提出,是保证不产生悖论,又要求这些公理的范围足够宽,能容纳全部数学。就是说要给数学提供足够的集合。

博主语:貌似之前自己所想没错,此类悖论产生是因为“自己”。如此粗暴的解决罗素悖论实在让我很不爽啊- -非此即彼的约定是否由此而遭到挑战?

此外还有正则性公理……概念性好强的文章啊,懒得看了- -。