R是不包含R的集合的集合(理发师悖论)

2011年12月17日 由 楼长 留言 »

资料一:
一个悖论,R是不包含R的集合的集合(理发师悖论) http://wenwen.soso.com/z/q302285513.htm

这是第三次数学危机的产物
R是不包含R的集合的集合,这句话有矛盾,因为R本来就是包含自身R的集合,又怎么可能R是不包含R的集合的集合
这就和理发师的话一样。问理发师的头发谁来剪,这样就矛盾了

把所有集合分为2类,第一类中的集合以其自身为元素,第二类中的集合不以自身为元素,假令第一类集合所组成的集合为P,第二类所组成的集合为Q,于是有: P={A∣A∈A} Q={A∣A∉A} 问,Q∈P 还是 Q∈Q? 若Q∈P,那么根据第一类集合的定义,必有Q∈Q,但是Q中任何集合都有A∉A的性质,因为Q∈Q,所以Q¢Q,引出矛盾。若Q∈Q,根据第一类集合的定义,必有Q∈P,而显然P∩Q=∅,所以Q∉Q,还是矛盾。 这就是著名的“罗素悖论”。

因为,如果把每个人看成一个集合,这个集合的元素被定义成这个人理发的对象。那么,理发师宣称,他的元素,都是城里不属于自身的那些集合,并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己?这样就由理发师悖论得到了罗素悖论

博主语:这个问题是由无限引出的,无限以及与其相似的数学概念无穷。包涵其自身的集合。引出问题:如何解决的悖论,罗素的约定是什么。是否有其他解。第一次数学危机是什么,第二次数学危机是什么。

资料二:
罗素公理体系 http://zh.wikipedia.org/wiki/罗素公理体系

真类与集合

为解决此类悖论,我们把类区分为两种:

定义1.2 如果存在类B,而类A满足条件“exists B(Ain B)”,则称类A为一个集合(简称为),记为Set(A)。

定义1.2说明,一个集合是类的一种,它可以成为其它类的一个元素,这也正是集合的”严格”定义。

有另一种集合的定义:已存在一个类B,其中凡是符合属性P(x)的,可以构成一个类A。类A则是一个集合,或者说是B的一个子类。但对此种定义,人们可以提出质疑,不能保证A不是真类。但人们还是乐于接受该定义的。但定义说不上严格。

集合能进行各种类运算。

真类 不是集合的类就是真类。真类是一种能以自身作为元素的类,对于真类,类运算并不一定都能进行。

一个真类却不能成为其它类的元素。因此我们可以理解为“本性类是最高层次的类”。

罗素悖论等于用反证法证明了真类的存在。但真类是抽象难理解的。

但是,“类和集合是非常一般的概念,什么是集合的问题是不能彻底回答的。只有随着数学实践来确定哪些类是集合,哪些类是真类,任何时间,总有一些类无法确定其到底是不是集合。”

类的内涵公理

公理Ⅱ(内涵公理) 设P是一个性质,则exists A(forall x(xin A iff P(x)wedge Set(x)))

公理Ⅱ的含义是:满足一定性质的所有集合可以组成一个类。

内涵公理能够解决罗素悖论:令P(x)为“xnotin x”(称为罗素性质),依内涵公理,我们不能确定所有满足P的类能否构成一个类,我们只能确定满足P的所有集合能够构成一个类A(下面提到的性质1.1),我们有结论“Ain A iff P(A)wedge Set(A)”,即“Ain A iff Anotin Awedge Set(A)”。此时不会出现悖论,只能得出结果:A不是集合,因此A是本性类,我们把这个类称为罗素类

对于内涵公理,任给一个对所有集合都满足的性质P,如P(x) = Set(x),则有:

性质1.1 所有的集合构成一个真类。

我们把所有集合构成的类称为极限类(真类),它是类理论所承认的“最大的”类。

由公理Ⅰ(外延公理)、公理Ⅱ(内涵公理)组成的公理体系我们称为罗素公理体系,这是关于类的理论的最基本的公理体系。

罗素公理体系与罗素悖论

罗素悖论产生的原因,是把真类当成集合。

可以说,罗素公理体系在两方面避免罗素悖论:第一,不存在包含自身的集合(包含自身的类是真类)。第二,“所有”集合的总体不是集合!而是一个真类。因为“所有”一词,包含了自身。

以书目悖论为例,根据罗素公理体系,所有符合条件的书的确构成了一个集合,因为它们可以与其它的书进一步构成更大的整体(集合的定义)–比如它们和不符合条件的书共同构成了图书馆里所有的书(类)。问题“这本书要记下自己的书名吗?”,即是,它包含自己吗?已经没有回答的意义。因为根据内涵定义,不存在包含真类的集合。所以实物上不存在里面提到的那一本目录书(也有人认为那是一个非法的集合,一个集合要包含自身,但又要和集合内其它元素相区别,是不可能的)。但注意,这一抽象概念却是存在的,它是一个真类。

在理发师悖论里,理发师其实划出了一个真类。如果理发师修改一下自己的说法:“除了我理发师本人之外,我给所有不给自己理发的人理发”,悖论就被避免了。因为理发师此时定义了一个集合(根据声明,他不在自己定义的服务群里)。
注意:罗素公理体系只是“避免”了罗素悖论,并没有解决罗素悖论。罗素公理体系的提出,是保证不产生悖论,又要求这些公理的范围足够宽,能容纳全部数学。就是说要给数学提供足够的集合。

博主语:貌似之前自己所想没错,此类悖论产生是因为“自己”。如此粗暴的解决罗素悖论实在让我很不爽啊- -非此即彼的约定是否由此而遭到挑战?

此外还有正则性公理……概念性好强的文章啊,懒得看了- -。

广告位

发表评论