罗素悖论与第三次数学危机

2020年5月27日 由 晓阳 留言 »

罗素悖论,我们先从理发师悖论说起。

说从前有个理发师,他发下誓言说:“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸。”有一天,理发师看到镜子里满脸胡子的自己,他却不知道自己能不能给自己刮脸。

如果他给自己刮脸,他就是“给自己刮脸的人”,那么他不能给自己刮脸。如果他不给自己刮脸,那么他就可以给自己刮脸。

罗素悖论定义了一个集合,这个集合囊括所有不属于自身的集合。

对于任意一个集合A,A要么是自身的元素,即A∈A;A要么不是自身的元素,即A∉A。根据康托尔集合论的概括原则,可将所有不是自身元素的集合构成一个集合S1,即S1={x:x∉x}。

集合S1是否属于S1自身呢?不管它是否属于自身,两种说法都会导致错误,这就是罗素悖论。

可以说,逻辑性是建立在数学的基础上,集合甚至可以被看作是自然数的基础。罗素悖论的发现让数学界坐立不安。那数学家是怎么解决这个问题的呢?通过构建公理。直白说就是做一个规定,使得罗素悖论无法成立。其实就是规定了罗素悖论构建的“集合”“不合法”。

冯·诺伊曼(von Neumann)等人提出的NBG系统。在该公理系统中,所有包含集合的”collection”都能被称为类(class),凡是集合也能被称为类,但是某些 collection太大了(比如一个collection包含所有集合)以至于不能是一个集合,因此只能是个类。这同样也避免了罗素悖论。

根据NBG系统,包含自身的集合是一个悖论,所以就不是一个集合,而被称为类。真类是不是集合的类。而真类不能作为类的元素。即真类不能包含真类。

可以说,嵌套无限处于数学的一个真空地带,是不能触碰的禁地。但就像有人告诉你不要想起大象你就一定会想起大象一样,不能触碰但禁地,我觉得一定有其道理。下一篇聊一聊假如存在一个包含全部集合的集合

其实我在2011年就讨论过这个问题,当时对真类的理解是错误的。大概现在写的跟过去写的一样没人看呢:无限——一种可能性的探讨

R是不包含R的集合的集合(理发师悖论)

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