存档在 2020年5月27日

假如存在一个包含全部集合的集合

2020年5月27日

假如存在一个包含全部集合的集合,根据NBG系统,应该叫做类。我们暂时不管这些条条框框,名可名,非常名,我们拿“类”这个名字来用。

不。这里应该应该借鉴编程面向对象的思想。我们取NBG系统的“类”这个名字。

定义类为一个可以包含任意集合的组成集。

类是一个模型,而不是一个具体的组成集。一个可以看作类的组成集我们称之为一个类的实例。(即面向对象编程中的class与object)

类的实例可以进行嵌套。

那么回到之前聊的嵌套宇宙,这里可以把一个宇宙看作为一个类的实例。或者说宇宙模型是一个类,而某个宇宙是宇宙模型的一个实例。这定义这个宇宙实例为宇宙A,宇宙A中嵌套包含了无数个的实例,即其他宇宙实例。宇宙外部也存在一个宇宙实例,定义为宇宙B,宇宙B包含了数不尽的与宇宙A类似的宇宙实例,假设为宇宙A1,宇宙A2,宇宙A3。

因为同为宇宙实例,我们可以说宇宙A1(简称A1,后续A2,A3,A,B同),A2,A3是相似的,而宇宙B也有数不尽的相似宇宙B1,B2,B3。外部无限嵌套,内部同样无限嵌套,以A的视角看A1,A2,A3,与以B的视角看B1,B2,B3是一样的。切换视角后,我们可以说A与B是类似的。实际上所以宇宙的实例都是类似的。

现在试着把这套嵌套模型放到我们的视角里,把B看作我们所在的宇宙(当然我们只看到了整个宇宙的一部分),假设原子核与其周围的电子云可以看作宇宙A。如果存在一个可以自由伸缩的观测者定义为观测者O,宇宙B(我们所在的宇宙)与宇宙A在它不同视角下可以说是等同的。而在我们看来,宇宙B无限大∞,而宇宙A小到不可观测,看作0。在观测者O的视角下,宇宙A是等价于宇宙B的,即无穷大是等价于0的。硬把古代经典拉来配对,色即是空,空即是色。名可名,非常名。以观测者O的视角看,就是“有无相生,难易相成,长短相形,高下相倾,音声相和,前后相随”。

是非对错不存在的,属于名可名。但起因结果,逃不了。

下一篇聊一聊嵌套宇宙下的物理学,再有嵌套宇宙下的玄学

罗素悖论与第三次数学危机

2020年5月27日

罗素悖论,我们先从理发师悖论说起。

说从前有个理发师,他发下誓言说:“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸。”有一天,理发师看到镜子里满脸胡子的自己,他却不知道自己能不能给自己刮脸。

如果他给自己刮脸,他就是“给自己刮脸的人”,那么他不能给自己刮脸。如果他不给自己刮脸,那么他就可以给自己刮脸。

罗素悖论定义了一个集合,这个集合囊括所有不属于自身的集合。

对于任意一个集合A,A要么是自身的元素,即A∈A;A要么不是自身的元素,即A∉A。根据康托尔集合论的概括原则,可将所有不是自身元素的集合构成一个集合S1,即S1={x:x∉x}。

集合S1是否属于S1自身呢?不管它是否属于自身,两种说法都会导致错误,这就是罗素悖论。

可以说,逻辑性是建立在数学的基础上,集合甚至可以被看作是自然数的基础。罗素悖论的发现让数学界坐立不安。那数学家是怎么解决这个问题的呢?通过构建公理。直白说就是做一个规定,使得罗素悖论无法成立。其实就是规定了罗素悖论构建的“集合”“不合法”。

冯·诺伊曼(von Neumann)等人提出的NBG系统。在该公理系统中,所有包含集合的”collection”都能被称为类(class),凡是集合也能被称为类,但是某些 collection太大了(比如一个collection包含所有集合)以至于不能是一个集合,因此只能是个类。这同样也避免了罗素悖论。

根据NBG系统,包含自身的集合是一个悖论,所以就不是一个集合,而被称为类。真类是不是集合的类。而真类不能作为类的元素。即真类不能包含真类。

可以说,嵌套无限处于数学的一个真空地带,是不能触碰的禁地。但就像有人告诉你不要想起大象你就一定会想起大象一样,不能触碰但禁地,我觉得一定有其道理。下一篇聊一聊假如存在一个包含全部集合的集合

其实我在2011年就讨论过这个问题,当时对真类的理解是错误的。大概现在写的跟过去写的一样没人看呢:无限——一种可能性的探讨

R是不包含R的集合的集合(理发师悖论)

分形几何

2020年5月27日

一片雪花的周长竟然能超过地球的直径?科赫雪花的周长就超过了地球直径。这就是一个分形问题。

分享一个bilibili视频:

分形生成于一个不断迭代的方程式,也就是基于递归的反馈系统。比如科赫雪花就是把每一段组成雪花图案的线段按相同结构再分割下去。在无限分割下去后,周长变得无限大,而面积却很小。同样类似还可以构造一种地毯,谢尔宾斯基地毯斯,地毯的周长无限大,但面积却是0。

一旦涉及到无限,问题就变得奇怪了。比如周长无限大的科赫雪花与面积为0的地毯。不过到了物理世界,科学界认为粒子无法无限分割,实际上科赫雪花就无法无限构建下去。

最后再分享个视频:数学的魅力:上帝之眼–曼德博分形放大3.4E1091倍

嵌套宇宙,一个不怎么创新的想法

2020年5月27日

嵌套宇宙,大体就是宇宙内又包含了宇宙。就像是俄罗斯套娃,只不过宇宙中应该是嵌套了无数个宇宙。类似一花一世界,一叶一菩提。

嵌套宇宙这类的模型一直以来都有,只是不被主流科学所接纳。原因在于嵌套宇宙难以建立数学模型,同时当前科学技术也难以对“嵌套”在内部或外部的宇宙进行观察,即使建立理论模型也难以证明或证否。所以基本上如果你在一个“科学素养”比较高的环境下来谈论嵌套宇宙的模型,是会被嗤之以鼻的。

不过我十分喜欢这样的宇宙模型,一方面嵌套模型在我们的生活中越来越多的出现,从古至今就有很多例子,另一方面,就如我在《科学视角下世界真奇怪》所说,现在的物理模型实在是不怎么美。反而如果将嵌套模型引入物理世界,很多不优雅的理论可会会被一套更为简单的理论所替代。

各领域的嵌套模型

最简单之前提到的俄罗斯套娃,套娃内一个小套娃。这个嵌套模型是有极限的,显然套娃小到一定程度之后,总会遇到无法做一个更小的套娃的情况,同样,也无法做到非常大的套娃。这是一个有限嵌套模型。

数学上有分形几何。同时曾经引发数学界的第三次数学危机,罗素悖论也是一个嵌套模型。数学界选择使用一个公理来限制这种嵌套的发生。

现代生活中我们接触到最多到嵌套模型应该是计算机科学中的递归。学过编程的人大部分都知道递归,特别是应聘过程序员的朋友。虽然没接触编程的人可能不了解递归是什么,但我们每天使用的软件算法中一定是有递归实现的。

递归简单说是函数调用函数。举个例子,假如说有个语音盒子,这个盒子执行了一段代码。代码中有一个函数,函数的功能是语音输出“从前有座山,山上有个庙,庙里有个老和尚在给一个小和尚将故事,他讲的是什么呢?”。递归就是这个函数执行完语音输出后继续执行自己。于是这个语音盒子就好一直重复“从前有座山,山上有个庙,庙里有个老和尚在给一个小和尚将故事,他讲的是什么呢?从前有座山,山上有个庙,庙里有个老和尚在给一个小和尚将故事,他讲的是什么呢?……”直到永远。在程序中,打断这种循环的方法是加一个变量,比如说增加一个变量i,初始值设置为0,每执行一次函数就让i的数值加1。然后在函数中增加一个判断,当i大于某个数时停止函数的执行。

还有像这个句子:俄罗斯一票否决了乌克兰提出的取消俄罗斯一票否决权的提案。实际上也是一种套娃,因为讨论的问题(取消一票否决权)可以被要讨论的问题本身(俄罗斯有一票否决权)所影响。

再有一个有趣的数学发现,康威生命游戏中的OTCA metapixel,利用一个简单规则的模型,实现了这个模型自身。

生活中处处可见嵌套模型,可嵌套宇宙的模型就是不被科学界待见。谁让我们没办法建立一套数学模型并给出假设,作出推论并应用于现实生活中呢。

嵌套模型规则的简单却不代表其推论的简单,亦不代表其应用会简单。因为宇宙模型要使用嵌套模型,要模拟宇宙中的例子在宇宙空间的运动,力。牵扯到引力,核力,光速,一定是涉及到了嵌套内部的物理模型与外部物理模型的相互作用。就像OTCA metapixel中内部运算构建了外部的规则一样。同时要模拟宇宙中粒子的运动,要直到一立方米的空气中就有2.68*10^25个空气分子!这个模型要怎么简化,怎么构建,怎样来运算?

模型不好建,但空想一下,在嵌套宇宙模型假设下做些思考实验与推论还是很有趣的。不过,首先我想再介绍一下分形几何罗素悖论还有生命游戏